小波分析

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小波（Wavelets，又称为子波）分析是八十年代中期发展起来的一个崭新的数学分支，是当前应用数学中一个飞速发展的新领域。经过近十年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，基础理论更加坚实，与Fourier(傅立叶)变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变换被誉为“数学显微镜”。
小波分析理论是一种新的函数逼近工具和时间—尺度、时间—频率分析方法，它继承和发展了Fourier分析理论，是调和分析理论中最杰出的成就之一。
    小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在Fourier变换的基础之上的。虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察信号，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含频域信息。其傅立叶谱是信号的统计特性，是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的能力，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域局部化的矛盾。
    由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换、Randon—Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。

    但是，在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征又是很重要。如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上来分析是不够的。这就促使去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，也称为时频局部化方法。
    小波变换是一种信号的时间——尺度、时间——频率的分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。利用连续小波变换进行动态系统故障检测与诊断具有良好的效果。
    与Fourier分析理论相比，小波分析具有两大优点：其一是，它是一种时频联合分析方法，能够根据信号不同的频率成分和时间域采样的疏密，自适应地调节时频窗口，同时具有时频域局部化的性能；其二是，小波函数可作为许多经典函数空间的无条件基，通过快速离散小波变换能够实现这些空间中的函数逼近。
    近年来，小波分析理论的研究继续取得新的成果，并不断应用到纯数学、应用数学及其它工程技术领域。如小波分析理论目前已在信号处理、图象处理、地震勘探、量子物理、模式识别、故障诊断及非线性科学等领域得到成功应用；其在自动控制领域中的应用研究也正蓬勃发展，而且，随着控制理论、信号处理和小波分析等多学科的相互交叉、相互渗透，小波分析理论在自动控制领域中解决的问题也会越来越多，应用的前景也会越来越好。